Preálgebra Ejemplos. Cualquier raíz de 1 es 1.
¿Cuál es la raíz de menos uno?
Por lo que se refiere a los números ordinarios y corrientes, ‘la raíz cuadrada de menos uno’ no existe.
¿Cuál es el valor de raíz cuadrada de 2?
La raíz cuadrada de 2, también conocida como constante pitagórica, se denota a menudo como: Es un número real positivo que multiplicado por sí mismo da el número 2. Su valor es: 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 8073176679 3799
¿Qué raíz te da 0?
Raíces
- Raíces
- Objetivos de aprendizaje
- · Encontrar raíces cuadradas principales y sus opuestos.
- · Aproximar raíces cuadradas y encontrar raíces exactas con una calculadora.
- Seguramente has trabajado con raíces de plantas y árboles en un jardín, ¿pero sabías que también hay raíces en las matemáticas?
Sí, las raíces existen en las matemáticas. La raíz más común es la, Veamos lo que son las raíces, cómo se relacionan con los exponentes y cómo puedes calcular la raíz de un número. Para entender mejor las raíces cuadradas, vamos a repasar algunos datos sobre los exponentes. Veamos la tabla siguiente.
| Exponente | Nombre | Forma Expandida |
| «Tres al cuadrado» «Tres a la segunda potencia» | ||
| «Cuatro a la quinta potencia» «Cuatro a la quinta» | ||
|
||
| » x a la potencia n » » x a la n » |
Puedes pensar en los números exponenciales como una «multiplicación repetida.» Del mismo modo que dividir es la inversa de multiplicar, la inversa de elevar a un número a una potencia es obtener la raíz de ese número. La raíz más común (y la que vamos a estudiar) es la llamada raíz cuadrada.
Cuando tratas de encontrar la raíz cuadrada de un número (digamos, 25), estás tratando de encontrar un número que multiplicado por sí mismo crea el número original. En el caso de 25, puedes encontrar que 5 • 5 = 25, entonces 5 es la raíz cuadrada. El símbolo para la raíz cuadrada se llama y es:, La expresión se lee como «la raíz cuadrada de veinticinco» o «el radical del veinticinco.» El número que se escribe debajo del símbolo radical se llama,
Observa la siguiente tabla.
| Radical | Nombre | Forma Simplificada |
| «Raíz cuadrada de treinta y seis» «Radical de treinta y seis» | ||
| «Raíz cuadrada de cien» «Radical de cien» | ||
| «Raíz cuadrada de dos cientos veinticinco» «Radical de dos cientos veinticinco» |
Observa de nuevo, Te darás cuenta que hay otro valor que, cuando se multiplica por sí mismo, también resulta en 25. Ese es el número − 5. Por definición, el símbolo de la raíz cuadrada siempre significa la raíz positiva, llamada la, Entonces, si bien 5 • 5 y −5 • −5 son iguales a 25, sólo 5 es la raíz cuadrada.
También debes saber que el cero es especial porque sólo tiene una raíz cuadrada: él mismo (como 0 • 0 = 0). Si conoces la raíz cuadrada principal también puedes encontrar su opuesto. (Recuerda que cualquier número sumado a su opuesto es igual a 0. Entonces, por ejemplo,,) En la tabla siguiente, observa que si bien te dará la raíz principal, te dará el opuesto.
Por ejemplo, es igual a la raíz principal, 6 y es igual al opuesto, −6.
| Radical | Raíz Principal | Radical Opuesto | Raíz Opuesta |
Y ahí está, poner un signo negativo enfrente del radical tiene el efecto de convertir una raíz principal en su opuesto (el negativo de la raíz cuadrada del radicando). Ahora que ya recordamos los exponentes y ya conocemos el concepto de raíz cuadrada.
¿De qué nos sirve entender uno y el otro? Los exponentes y las raíces están conectados, como las raíces se pueden expresar como exponentes fraccionales. Por ahora, veamos la conexión entre el exponente » » y las raíces cuadradas; a continuación veremos otros exponentes fraccionales y otras raíces. La raíz cuadrada de un número puede representarse usando un símbolo radical o elevando el número a la potencia,
Esto se ilustra en la tabla siguiente.
| Forma Exponencial | Forma de Raíz | Raíz de un Cuadrado | Simplificación |
| 5 | |||
| 4 | |||
| 10 |
El cuadrado de 4 es 16 porque 4 veces 4 es igual a 16. Recuerda de tu experiencia con los exponentes que también puedes escribirlo como, Piensa de esta manera, puedes saber que la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 • 3 = 9. De manera similar, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 • 5 = 25 y la raíz cuadrada de es x porque,
| Ejemplo | ||
| Problema | Simplificar. | |
| Determina qué número multiplicado por sí mismo tiene un producto de 144. | ||
| 12 | La raíz cuadrada de 144 es 12. | |
| Respuesta |
table>
Sin embargo, si el signo negativo está dentro del radical como en, no hay manera de simplificar usando números reales. Esto es porque no existe ningún número que multiplicado por sí mismo resulte en − 49. Recuerda, un número negativo multiplicado por otro número negativo resulta en un número positivo: −7 • − 7 = 49.
| Ejemplo | ||
| Problema | Simplificar. | |
| Determina los factores primos de 144. | ||
| Reagrupa estos factores en dos grupos idénticos. Recuerda que la raíz cuadrada de un número al cuadrado es el mismo número. Aquí,, | ||
| Respuesta |
Observa que algo pasó en el último paso de este ejemplo: la expresión se reescribió como y luego, Separaste los factores en grupos idénticos, los multiplicaste y llegaste a un número al cuadrado. Muchas veces, es más fácil identificar pares de factores después de que hayas pasado por el proceso de factorizar el radical original. Por ejemplo, veamos de nuevo ¿Cuántos pares puedes ver? ¿Y cuántos pares ? Si pudieras de alguna forma identificar números elevados al cuadrado más pequeños debajo del radical en lugar de recombinar todos los factores (como hiciste cuando encontraste que ), podrías simplificar los radicales más rápido.
Es aquí donde ayuda pensar en las raíces como exponentes fraccionales. Recuerda la de cuando estudiaste exponentes. Esta regla dice que el producto de dos o más números distintos de cero elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia. En términos matemáticos, se escribe ( ab ) x = a x • b x,
Entonces, por ejemplo, puedes usar la regla para reescribir como, Ahora en lugar de usar el exponente 2, usemos el exponente, El exponente se distribuye de la misma forma.
Y como sabes que elevar un número a la potencia es lo mismo que encontrar su raíz cuadrada, puedes también escribirlo así:
Veamos, puedes pensar en cualquier número dentro del radical como el producto de factores separados, cada uno con su propio radical. Usar esta idea nos ayuda a identificar números cuadrados más pequeños, lo que normalmente nos lleva a simplificar radicales más rápido.
|
Esta regla es importante porque nos ayuda a pensar en un radical como el producto de múltiples radicales. Si puedes identificar los cuadrados perfectos dentro del radical, como con, puedes reescribir la expresión como el producto de múltiples cuadrados perfectos:, Veamos de nuevo el usando esta idea nueva.
| Ejemplo | ||
| Problema | Simplificar. | |
| Determina los factores primos de 144. | ||
| Agrupa en pares los factores semejantes. | ||
| Reescribe como cuadrados. | ||
| Usa la regla de un Producto Elevado a una Potencia, reescribe como el producto de radicales individuales. | ||
| Simplifica cada radical y multiplica. | ||
| Respuesta |
Obtienes la misma solución en ambos casos, pero normalmente es más fácil sacar pares de factores más pequeños y luego multiplicarlos (como se muestra aquí) que recombinar todos los factores para encontrar la raíz (como se mostró en el primer ejemplo).
A) 16 Incorrecto.16 2 = 256. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factoriza 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas, encontrarás que,324 también puede escribirse como 18 2, La respuesta correcta es 18. B) 18 Correcto. = 18. Si factorizas, encontrarás que,324 también se puede escribir como 18 2, C) 21 Incorrecto.21 2 = 441. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factoriza 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas, encontrarás que,324 también puede escribirse como 18 2, La respuesta correcta es 18. D) 162 Incorrecto.162 2 = 26,244. Dividir 324 entre 2 no resultará en la raíz cuadrada del número; intenta factorizar 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas, encontrarás que,324 también se puede escribir como 18 2, La respuesta correcta es 18. |
Simplificando raíces cuadradas factorizando Hasta ahora, hemos visto ejemplos que son cuadrados perfectos. Esto es, cada uno es un número cuya raíz cuadrada es un entero. Pero muchas expresiones radicales no son cuadrados perfectos. Algunos de estos radicales se pueden simplificar encontrando factores cuadrados perfectos.
| Ejemplo | |||
| Problema | Simplificar. | ||
| Factoriza 63 en 7 y 9. | |||
| Factoriza 9 en 3 y 3. | |||
| Reescribe 3 · 3 como 3 2, | |||
| Usa la regla de un Producto Elevado a una Potencia, separa el radical en el producto de dos factores, cada uno dentro del radical. | |||
| Toma la raíz cuadrada de 3 2, | |||
| Recombina los factores de tal manera que el entero aparezca antes del radical y luego multiplica. (Esto se hace para que sea claro que sólo el 7 está dentro del radical y no el 3.) | |||
| Respuesta | |||
La respuesta final podría verse rara, pero está en su forma simplificada. Puedes leer esto como «tres radical de 7» o «tres por la raíz cuadrada de siete.»
| Ejemplo | ||
| Problema | Simplificar. | |
| Factoriza 2,000 para encontrar los cuadrados perfectos. Continúa factorizando hasta que identifiques los cuadrados perfectos. | ||
| Factoriza 100 como 10 • 10 y 4 como 2 • 2. | ||
| Reescribe 10 • 10 como 10 2 y 2 • 2 como 2 2, | ||
| Usa la regla de un Producto Elevado a una Potencia, reescribe el radical como el producto de dos factores, cada uno dentro del radical. | ||
| Toma la raíz cuadrada de 10 2 y 2 2, | ||
| Multiplica. | ||
| Respuesta |
Aproximando y calculando raíces cuadradas Otra manera de manejar raíces cuadradas que no son cuadrados perfectos es aproximarlas comparando los valores con cuadrados perfectos. Supongamos que quieres saber la raíz cuadrada de 17. Veamos cómo podríamos aproximarla
| Ejemplo | ||
| Problema | Simplificar. | |
| 17 está entre los cuadrados perfectos 16 y 25. Entonces, debe estar entre y, | Piensa en dos cuadrados perfectos alrededor de 17. | |
| y Como 17 está más cerca de 16 que de 25, es probablemente 4.1 o 4.2. | Determina si está más cerca de 4 o de 5 y vuelve a estimar. | |
| 4.1 • 4.1 = 16.81 4.2 • 4.2 = 17.64 | Usa prueba y error para obtener un mejor estimado de, Intenta elevando al cuadrado incrementalmente con números más grandes, empezando con 4.1, para encontrar una buena aproximación para, (4.1) 2 te da un mejor estimado que (4.2) 2, | |
| 4.12 • 4.12 = 16.9744 4.13 • 4.13 = 17.0569 | Continúa usando prueba y error para obtener un mejor estimado. | |
| Respuesta |
Esta aproximación es muy precisa. Si continúas usando prueba y error podrías encontrar la raíz cuadrada en milésimas, diez milésimas, cien milésimas, pero eventualmente se volverá tedioso hacerlo a mano. Por esta razón, cuando necesitas encontrar una aproximación más precisa de una raíz cuadrada, debes usar una calculadora.
Muchas calculadoras tienen una tecla de raíz cuadrada que te dará rápidamente una aproximación de la raíz cuadrada. En una calculadora simple, normalmente introduces el número del que quieres calcular la raíz cuadrada y luego presionas la tecla de la raíz cuadrada. Intenta encontrar usando tu calculadora.
Observa que no podrás obtener una respuesta «exacta» porque es un número irracional, un número que no se puede representar como una fracción y el decimal nunca termina ni se repite. A diez posiciones decimales, se aproxima a 4.123105626. Una calculadora puede ahorrarte mucho tiempo y proporcionar una raíz cuadrada más precisa cuando trabajas con números que no son cuadrados perfectos.
| Ejemplo | ||
| Problema | Aproxima y encuentra su valor usando una calculadora. | |
| 50 está entre los cuadrados perfectos 49 y 64. = 7 y = 8, entonces está entre 7 y 8. | Encuentra los cuadrados perfectos que rodean 50. | |
| 49 y 50 están cerca, entonces es un poco más grande que 7.7.1 • 7.1 = 50.41 Como 50.41 es mayor que 50, el estimado debe estar entre 7 y 7.1. | Usando prueba y error, intenta elevar al cuadrado números cada vez más grandes, empezando con 7.1, para encontrar una buena aproximación de, | |
| Como 50 está más cerca de 50.41 que de 49, intenta con 7.07.7.07 • 7.07 = 49.9849 | Usando razonamiento para obtener un estimado a cientos de milésima. | |
| ≈ 7.071067812 | Usando una calculadora. | |
| Respuesta | Por aproximación: Usando una calculadora: |
La raíz cuadrada de un número es el número que, cuando se multiplica por sí mismo, resulta en el número original. Las raíces cuadradas principales siempre son positivas y la raíz cuadrada de 0 es 0. Sólo puedes tener la raíz cuadrada de valores mayores o iguales a 0.
¿Qué pasa si la raíz me da 0?
¿Qué significa ahora?. Como la raíz cuadrada de 0 es 0, se obtiene que x = 2/2 = 1 como ‘unica solución’ de la ecuación.
¿Qué pasa con la raíz de 1?
Caso 1: El radicando es un número entero (sin decimales) y la raíz es entera (sin decimales).
¿Cuál es la raíz de un número negativo?
¿Cómo «deshacemos» las potencias? – En el primer ejercicio conocemos la base y el exponente y calculamos el resultado ( POTENCIAS ). En el segundo ejercicio conocemos el exponente (2) y el resultado y calculamos las bases ( RAÍCES ). Teniendo esto en cuenta: DEFINICIÓN La raíz cuadrada exacta de un número entero es otro número entero cuyo cuadrado coincide con el primer número. Es decir: No todos los enteros tienen raíz cuadrada exacta, sólo los llamados cuadrados perfectos, Sin embargo, sí podemos encontrar una aproximación entera de su raíz, a la que llamaremos raíz cuadrada entera. DEFINICIÓN La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero con un cuadrado menor o igual que dicho número. Se llama resto de la raíz cuadrada entera de un número a la diferencia entre dicho número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera. Escribiremos en lugar de para indicar que es una aproximación. OBSERVACIÓN La raíz cuadrada de un número positivo siempre tiene dos valores, uno positivo y uno negativo, pues al elevar al cuadrado el signo siempre es positivo. El único número que tiene una sola raíz cuadrada es el cero. Por el mismo motivo, no existen raíces cuadradas de número negativos,
¿Cuál es la fórmula general?
Una fórmula general, en la definición más amplia del término, es aquella que, en el ámbito de las matemáticas, permite obtener el valor de una incógnita en distintos casos particulares. Es decir, una fórmula general es una expresión que puede aplicarse para calcular el valor de una variable a partir de determinados datos. 
Como podemos observar, este tipo de ecuaciones tiene dos raíces o dos posibles soluciones, cada una de las cuales se puede calcular a partir de la misma fórmula, solo que cambiando un signo de suma por el de resta o viceversa en el numerador, entre -b y la raíz cuadrada de b 2 -4ac.
¿Qué pasa si tengo un número negativo en una raíz?
La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real, porque no existe un número ni positivo ni negativo que al ser multiplicado por sí mismo dé resultado negativo.
¿Cuánto es la raíz de un número negativo?
¿Cómo «deshacemos» las potencias? – En el primer ejercicio conocemos la base y el exponente y calculamos el resultado ( POTENCIAS ). En el segundo ejercicio conocemos el exponente (2) y el resultado y calculamos las bases ( RAÍCES ). Teniendo esto en cuenta: DEFINICIÓN La raíz cuadrada exacta de un número entero es otro número entero cuyo cuadrado coincide con el primer número. Es decir: No todos los enteros tienen raíz cuadrada exacta, sólo los llamados cuadrados perfectos, Sin embargo, sí podemos encontrar una aproximación entera de su raíz, a la que llamaremos raíz cuadrada entera. DEFINICIÓN La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero con un cuadrado menor o igual que dicho número. Se llama resto de la raíz cuadrada entera de un número a la diferencia entre dicho número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera. Escribiremos en lugar de para indicar que es una aproximación. OBSERVACIÓN La raíz cuadrada de un número positivo siempre tiene dos valores, uno positivo y uno negativo, pues al elevar al cuadrado el signo siempre es positivo. El único número que tiene una sola raíz cuadrada es el cero. Por el mismo motivo, no existen raíces cuadradas de número negativos,
¿Qué pasa si tengo la raíz de un número negativo?
La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real, porque no existe un número ni positivo ni negativo que al ser multiplicado por sí mismo dé resultado negativo.
¿Cómo se llama la raíz de un número negativo?
No existe la raíz de un número negativo. Nota: no es correcto decir que el cuadrado de un número siempre es positivo puesto que el cuadrado de 0 es 0 y no es positivo.